一道超难数学题等腰三角形ABC中AB=AC角BAC=30度分别在AB和AC上取点P和Q使得角QPC=45度且PQ=BC求

证：在△ABC内部做等边三角形DBC,连接DQ,DP,AD∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°∴∠ABC=∠ACB=75°∵等边三角形DBC中∴BC=DB=DC∴∠DBC=∠DCB=60°∴∠ABD=∠ACD=15°在△ABD与△ACD中AB=ACAD=ADBD=CD∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠BAD=∠CAD=15°∴∠DBA=∠BAD,∠DAC=∠DCA∴BD=AD=CD∵∠BAC=30°,∠QPC=45°∴∠AQP=∠QPC-∠BAC=15°∴∠AQP=∠ABD∴PQ‖BD∵PQ=BC∴PQ‖BD,PQ=BD∴四边形BDPQ是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴BQ=DP,BQ‖DP（平行四边形两组对边分别相等且平行）∴∠QPD=∠ABD=15°（平行四边形对角相等）∴∠DPC=30°∴∠DPC=∠PAQ=30°,∠DCP=∠PQA=15°∴CD=QP在△DPC与△PAQ中∠DPC=∠PAQ∠DCP=∠PQACD=QP∴△DPC≌△PAQ（AAS）∴DP=AP在梯形AQDP中,AQ‖DP,PQ=BD=AD∴DQ=AP（对角线相等的梯形是等腰梯形）∴DP=DQ∴BQ=DQ在△BCQ与△DCQ中QC=QCBC=DCBQ=DQ∴△BCQ≌△DCQ（SSS）∴∠BCQ=∠DCQ=30°∵△BCQ中,∠DCQ=30°,∠CBQ=75°∴∠CQB=75°=∠CBQ∴BC=CQ