已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F.若AE=AD,AF+BE=CD是否成立?若成

【分析】（1）①延长EA到G,使得AG=BE,连接DG,根据四边形ABCD是平行四边形,推出AB=CD,AB∥CD,AD=BC,求出∠DAG=90°=∠GAD,根据SAS证△ABE≌△DAG,推出DG=AB=CD,∠1=∠2,求出∠AFD=∠GDF,推出DG=GF=AF+AG即可；②与（1）证法类似,根据SAS证△ABE≌△DAG,推出DG=AB=CD,∠1=∠2,求出∠GFD=∠GDF,推出DG=GF=AF+AG即可；（2）延长EA到G,使得BE/AG=a/b,连接DG,根据两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似,推出△ABE∽△DAG,推出∠1=∠2,DG=AB,代入即可求出答案。】（1）①CD=AF+BE理由是：延长EA到G,使得AG=BE,连接DG∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC∵AE⊥BC于点E∴∠AEB=∠AEC=90°∴∠AEB=∠DAE=90°∴∠DAG=90°在△ABE和△DGA中AD=AE,∠GAD=∠AEB,BE=AG∴△ABE≌△DGA∴DG=AB=CD,∠1=∠2∵平行四边形ABCD,AE⊥BC∴∠B=∠ADC=60°,AE⊥AD∴∠1=∠2=30°∵DF平分∠ADC∴∠3=∠4=30°∴∠AFD=60°=∠GDF∴DG=GF=AF+AG∴CD=AB=DG=AF+BE即CD=AF+BE②（1）中的结论仍然成立证明：延长EA到G,使得AG=BE,连接DG∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC∵AE⊥BC于点E∴∠AEB=∠AEC=90°∴∠AEB=∠DAG=90°∴∠DAG=90°在△ABE和△DAG中AD=AE,∠GAD=∠AEB,BE=AG ∴△ABE≌△DAG∴∠1=∠2,DG=AB,∠B=∠G∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B=∠ADC∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°,∠3=∠4∴∠GDF=90°-∠4,∠GFD=90°-∠3∴∠GDF=∠GFD∴GF=GD=AB=CD∵GF=AF+AG=AF+AE∴CD=AF+BE（2）bCD=aAF+bBE理由是：延长EA到G,使得BE/AG=a/b连接DG,即AG=(b/a)BE∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC∵AE⊥BC于点E∴∠AEB=∠AEC=90°∴∠AEB=∠DAG=90°∴∠DAG=90°即∠AEB=∠GAD=90°∵AE/AD=BE/AG=a/b∴△ABE∽△DAG∴∠1=∠2,AB/DG=a/b∴∠GFD=90°-∠3∵DF平分∠ADC∴∠3=∠4∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3∴∠GDF=∠GFD∴DG=GF∵AB/DG=a/b,AB=CD（已证）∴bCD=aDG=a[(b/a)BE+AF]即 bCD=aAF+bBE．