在区间[0,1]上任取两个实数a,b,则函数f(x)=1/2*x^3+ax-b在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率

firstly, you want to know what the curve looks like:f'(x) = 3/2*x^2+asince a>=0, f'(x) >= 0。  And only when x=0 and a=0, f'(x)=0。  So for any a, b in [0。1], function f(x) monotonically increasing。  In other words, f(x) has unique zero within [-1,1] if and only if f(-1) <= 0 and f(1) >=0。since f(-1)=-1/2-a-b<0 is always true when a,b in [0,1], we conclude that:f(x) has unique zero within [-1,1] <==> f(1) = 1/2+a-b >=0Now we can play in a figure。  When x-axis is a and y-axis is b, we will plot dot on the unit square。  Let's plot red dot when (a,b) satisfies that 1/2+a-b >=0 and plot blue dot otherwise。  We got a figure like the one attached。To calculate the probability of 1/2+a-b>=0 is the same as to measure the area of red dots, which is 7/8。