两道高中排列组合的等式证明题目.

C(r,n)：r是上标、n是下标。【1】C(k,k)＋C(k,k＋1)＋C(k,k＋2)＋…＋C(k,k＋n) =C(k＋1,k＋1)＋C(k,k＋1)＋C(k,k＋2)＋…＋C(k,k＋n)利用：C(k＋1,n＋1)＋C(k,n＋1)=C(k＋1,n＋2)则：原式=C(k＋1,k＋1)＋C(k,k＋1)＋C(k,k＋2)＋…＋C(k,k＋n) 【前2个继续用公式】=C(k＋1,k＋2)＋C(k,k＋2)＋C(k,k＋3)＋…＋C(k,k＋n)=C(k＋1,k＋3)＋C(k,k＋3)＋…＋C(k,k＋n)=…………=C(k＋1,n＋k＋1)【2】S=(1,n)＋2C(2,n)＋3C(3,n)＋…＋nC(n,n)倒序,得：S=nC(n,n)＋(n－1)C(n－1,n)＋…＋2C(2,n)＋C(1,n)相加,得：[注意：需要错位,即：第一个等式中的第一个和第二个等式中的第二个配对,并注意到：C(k,n)=C(n－k,n)]则：2S=nC(n,n)＋nC(1,n)＋nC(2,n)＋…＋nC(n,n)2S=nC(0,n)＋nC(1,n)＋nC(2,n)＋…＋nC(n,n)2S=n×[C(0,n)＋C(1,n)＋C(2,n)＋C(3,n)＋…＋C(n,n)]2S=n×2^nS=n×2^(n－1)