设P为边长为1的等边△ABC内任一点,且l=PA+PB+PC,求证根号3≤l

等边三角形ABC的边长为1,从而他任意一边上的高为h=√3/2连接PA,PB,PC,设P到边BC,AC,AB上的高分别为PD,PE,PF又S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC即：h*BC/2=PD*BC/2+PE*AC/2+PF*AB/2由等边△ABC,故AB=AC=BC,从而PD+PE+PF=h=√3/2(为定值）又在Rt△PBD中,PD(直角边）＜PB（斜边）同理有：PD＜PC,PE＜PC,PE＜PA,PF＜PA,PF＜PB各式相加有2（PD+PE+PF）＜PA+PB+PC即PA+PB+PC＞2（PD+PE+PF）=2*（√3/2)=√3考虑到P点有可能是△ABC的中心,取极值情况从而PA+PB+PC≥√3另外P点有可能在△ABC边界上,当P点与A或B或C重合时PA+PB+PC取最大值2但条件中说明P点在△ABC内部,从而PA+PB+PC＜2综上√3≤PA+PB+PC＜2即：√3≤l＜2。