证明：f（x）＝x／（x²＋1）是R上的有界函数。

方法一：

(1)

x=0时，f(x)=0/(0+1)=0

(2)

x≠0时，f(x)=x/(x²+1)=1/(x+1/x)

x＜0时，x+1/x ≤-2

x＞0时，x+1/x ≥2

∴1/(x+1/x)属于【-1/2，0)，(0，1/2】

综上，f(x)属于【-1/2，1/2】

∴ f(x)=x/(x²+1)是R上的有界函数。

方法二：

已知函数 f(x)=x/(1+x²) 的定义域为R。

利用基本不等式a>0，b>0时，a²+b²≥2ab 可得，

当x≠0时， |f(x)|=|x|/(1+|x|²)≤|x|/2(1·|x|)=1/2

又|f(0)|=0<1/2

∴当x∈R时总成立|f(x)|≤1/2

故函数f(x)在定义域内有界。