什么是海伦公式,及其应用和扩展.如何证明?

海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。证明：如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④,故得证。证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,若BD=u,DC=v,AD=t。则 t 2 = 证明：由证一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤,故得证。证三：余弦定理 分析：由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图,tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式,得：+ + = ①②③代入,得：∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④,得：r 2 · = 两边同乘以 ,得：r 2 · = 两边开方,得：r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得：r3 = ×xyz海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 而公式里的s：s=\frac{a+b+c}{2} 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。[编辑]证明 与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为 \cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} 从而有 \sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab} 因此三角形的面积S为 S = \frac{1}{2}ab \sin(C) = \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 最后的等号部分可用因式分解予以导出。