高数微分方程问题求满足下列条件的特解y'=y/x+sin(y/x),y|(x=1)=π/2答案是：y=2xarctanx

方程是齐次方程,令u=y/x,则y=ux,dy/dx=u+xdu/dx,方程化为：u+xdu/dx=u+sinu,xdu/dx=sinu,分离变量cscudu=dx/x,两边积分,lntan(u/2)=lnc+lnC,所以tan(u/2)=Cx,所以原方程的通解是tan(y/(2x))=Cx,或者y=2xarctan(Cx)。由初始条件得C=1,所以特解是y=2xarctanx。－－cscu积分时,结果也可以写作ln(cscu-cotu),这样通解就是csc(y/x)-cot(y/x)=Cx,C=1,特解是csc(y/x)-cot(y/x)=x,或者再进一步化简