f(x)在[0,1]连续,(0,1)内可导,满足f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx,证：存在ξ∈(0,1),

学习时间:2026-08-14 15:53:09 阅读：4631

f(x)在[0,1]连续,(0,1)内可导,满足f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx,证：存在ξ∈(0,1),使得f‘(ξ)=f(ξ)若函数f(x)在闭区间[0,1]连续,在开区间(0,1)内可导且满足f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx,求证：存在ξ∈(0,1),使得f‘(ξ)=f(ξ).

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2026-08-14 15:53:09



令F(x)=e^(-x)f(x)显然满足罗尔定理的前2个条件又f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx由积分中值定理,得存在a∈（0,1）使得∫(0→1)e^(-x)f(x)dx=e^(-a)f(a)即f(0)=e^(-a)f(a)从而F(0)=f(0)F(a)=e^(-a)f(a)即F(0)=F(a)所以由罗尔定理,得存在ξ∈(0,1),F'(ξ)=0即f‘(ξ)=f(ξ)

f(x)在[0,1]连续,(0,1)内可导,满足f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx,证：存在ξ∈(0,1),

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