如何证明正交矩阵的特征值为1或-1

设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量即有 Ax = λx,且 x≠0。两边取转置,得 x^TA^T = λx^T所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E所以 x^Tx = λ^2x^Tx由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数故 λ^2=1所以 λ=1或-1。