1.求证：a,b是正整数,2a^2+a=3b^2+b,则a-b和2a+2b+1都是完全平方数.

1。首先(2a+2b+1)(a-b)=2a²+a-(2b²+b)=b²,(3a+3b+1)(a-b)=3a²+a-(3b²+b)=a²。设2a+2b+1与3a+3b+1的最大公因数为c,则c能整除3a+3b+1-(2a+2b+1)=a+b,那么c能整除2（a+b）,从而c能整除2a+2b+1-2（a+b）=1,所以c=1。假设a-b不是平方数,则必存在质数p,使得p在a-b的因数分解中次数为奇数,则p能整除2a+2b+1,否则(2a+2b+1)(a-b)=b²不为平方数,同理p也能整除3a+3b+1,这与2a+2b+1与3a+3b+1互素矛盾,故假设不成立,a-b是完全平方数,那么2a+2b+1=b²/(a-b)也为平方数。2。设f(x)=x(x²-2²)(x²-4²)······(x²-998²),则1×3×5×7×9×······×1997=999×(997×1001)×(995×1003)×······×(1×1997)=999×(999²-2²)×(999²-4²)×······×(999²-998²)=f(999),2×4×6×8×10×······×1998=1000×(998×1002)×(996×1004)×······×(2×1998)=1000×(1000²-2²)×(1000²-4²)×······×(1000²-998²)=f(1000),因为f(x)只有奇数项,且f(999)和f(1000)系数相同,故f(999)+f(1000)的每一项为i[999^(2m-1)+1000^(2m-1)],其中m为正整数,i为f(x)中x^(2m-1)的系数。又1999能整除999^(2m-1)+1000^(2m-1),故1999能整除f(999)+f(1000)=1×3×5×7×9×······×1997+2×4×6×8×10×······×1998