欧拉公式e^ix=cosx+isinx是怎么推出来的?

将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有 e^x=exp(x)＝1＋x/1!＋x^2/2!＋x^3/3!＋x^4/4!＋…＋x^n/n!＋… sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… 将式中的x换为ix,得到式；将i*+式得到式。比较两式,知与恒等。于是我们导出了e^ix=cosx+isinx,将公式里的x换成-x,得到：e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2。tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。P。S。幂级数 c0+c1x+c2x2+。。。+cnxn+。。。=∑cnxn (n=0。。∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+。。。+cn(x-a)n+。。。=∑cn(x-a)n (n=0。。∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,。。。cn。。。及a都是常数,这种级数称为幂级数。泰勒展开式(幂级数展开法):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+。。。f(n)(a)/n!*(x-a)n+。。。实用幂级数：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+。。。+xn/n!+。。。ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-。。。(-1)k-1*xk/k+。。。(|x|