已知动点p与双曲线x2/2-y2/3=1的两个焦点F1，F2的距离之和为6

学习时间:2026-03-30 17:09:56 阅读：5629

且cos角F1PF2最小值为-1/9,(1)求动点的轨已知动点P与双曲线x^2/2-y^2/3=1 的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且cos角F1PF2最小值为-1/9,(1)求动点的轨迹方程(2)已知D(0,3),M,N在P轨迹上,且向量DM=t向量DN,求t取值范围.我觉得有点难

含糊的奇迹

2026-03-30 17:09:56



由双曲线x^2/2-y^2/3=1 可知F1（-√5,0),F2（√5,0）

∵动点P到两个焦点F1,F2的距离之和为定值且cos角F1PF2最小值为-1/9

∴动点P的运动轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆

cos∠F1PF2=2b^2/|PF1||PF2|-1

当|PF1||PF2|最大时cos∠F1PF2最小,由椭圆的焦半径公式知当P的横坐标为0时即P在短轴上时|PF1||PF2|最大为a^2

∴2b^2/a^2-1=-1/9

又∵c=√5,a^2-b^2=c^2

可得a^2=9,b^2=4

∴动点的轨迹方程为x^2/9+y^2/4=1

(2设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=kx+3代入x^2/9+y^2/4=1得

(4+9k^2)x^2+54kx+45=0

∵Δ=54*54k^2-4*45(4+9k^2)≥0

∴k^2≥5/9。①∴x1+x2=-54k/(4+9k^2)。②,x1*x2=45/(4+9k^2)。③

∵向量DM=t向量DN

∴x1=tx2。④

由①②③④可得4≤(1+t)^2/t＜36/5

解得1/5＜t＜5

当k不存在时此时MN为短轴容易得t=1/5或5

综上可知t取值范围为[1/5,5]