微积分多元函数问题,如图24题,求解答过程!

由xy=1,y=x,x=2 围成的底面区域的界限为 1≤x≤2,1/x≤y≤x用与x轴垂直的平面切曲顶柱体所得的截面面积为A=∫zdy,(1/x≤y≤x)则体积为V=∫Adx=∫∫zdydx=∫∫[x/(1+y)]dydx=∫xln(1+y)dx=∫x[ln(1+x)-ln(1+1/x)]dx=∫xlnxdx=1/2∫lnxd(x^2)=1/2[x^2lnx]-1/2∫x^2dlnx=1/2[x^2lnx]-1/2∫xdx=1/2[x^2lnx]-[x^2/4] (1≤x≤2)=[1/2*4ln2-2^2/4]-[1/2*1^2ln1-1^2/4]=2ln2-1+1/4=2ln2-3/4