勾股定理的12种证法

证法1 如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它们的面积分别为c2,b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。过C引CM‖BD,交AB于L,连接BC,CE。因为AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,所以 △ACE≌△AGBSAEML=SACFG (1)同法可证SBLMD=SBKHC (2)(1)+(2)得SABDE=SACFG+SBKHC,即 c2=a2+b2证法2 如图26-3（赵君卿图）,用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH,它的边长是a+b,在它的内部有一个内接正方形ABED,它的边长为c,由图可知。SCFGH=SABED+4×SABC,所以 a2+b2=c2证法3 如图26-4（梅文鼎图）。在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略）,延长GF必过E；延长CG到K,使GK=BC=a,连结KD,作DH⊥CF于H,则DHCK是边长为a的正方形。设五边形ACKDE的面积=S一方面,S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积=c2+ab (1)另一方面,S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积+2倍△ABC面积=b2+a2+ab。(2)由(1),(2)得c2=a2+b2证法4 如图26-5（项名达图）,在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略）,GF的延长线必过D。延长AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF于H,则EKGH必为边长等于a的正方形。设五边形EKJBD的面积为S。一方面S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)另一方面,S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK=b2+ab+a2由(1),(2)得出论证勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法!但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法,属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式,记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中,最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a,则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得：a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg。163。com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C。gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题。以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg。163。com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB。gif