奥数题1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...+(1+3+5+7+...+197+199)

第一种方法：1+3=2^21+3+5=3^21+3+5+7=4^21+3+5+7+9=5^2……1+3+5+……（2n+1）=(n+1)^2利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 。3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1。把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+。+n^2)+3(1+2+3+。。。+n)+n,由于1+2+3+。。。+n=(n+1)n/2,代人上式得：n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+。+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得：1^2+2^2+3^2+。+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 带入上式可得：=1/6×100×101×201=338350 第二种方法：S1=1 S2=1+（1+3） S3=1+(1+3)+(1+3+5) 。。。。。。S50=1+(1+3)+(1+3+5)+……+(1+3+5+7+……+99) 则S50-S49=1+3+5+7+……+99=（1+99）*50/2 S49-S48=1+3+5+7+……+97=（1+97）*49/2 （不用算出来） 。。。。。。最后一个S3-S1=3 把上面的式子加起来得S50-S49+S49-S48+。+S2-S1=S50-S1=（1+99）*50/2-1 S=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+。+n^2 现套用如下式:2^3-1^3=3*1^2+ 3*1+1 3^3-2^3=3*2^2+ 3*2+1 4^3-3^3=3*3^2+ 3*3+1 。(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1 将上式相加得:(n+1)^3-1=3*S+3*n*(n+1)/2+n 化简得s=(2n+1)(n+1)n/6