考研数学傅里叶级数的问题

第一问,考虑a是否为自然数是必要的,因为a为自然数时,函数变成sinnx（即为a=n）,由于sinnx,cosnx,n=1,2,。是一个正交列,故其傅里叶级数变成有限项（即项角标等于a的sin系数非零,其余全是0）,这个的计算不同于a非自然数,而且这个时候函数在端点值相等,拓展成周期函数时是连续的,级数在整个定义域都收敛于函数值,可以单独列出。第二问中,n不是自然数时,f（-π）不等于f（π）,也就是如果把函数拓展成周期函数,那么在周期两端的地方是不连续的,故其傅里叶级数在这些点不收敛于函数值。而在周期内部是连续的,级数收敛于函数值,可以写成f（x）=级数。