几道高二数学题（柯西不等式）

第一题4^X+4^Y+4^(Z^2)=4^((x+y+z-z+z^2)=4^((x+y+z)+z^2-z)=4^(1+z^2-z)因为4^x为单调递增函数,当z=1/2时,1+z^2-z有最小值3/4,即原函数有最小值4^(3/4)第三题证明：由柯西不等式：[(1+9xy)+(1+9yz)+(1+9zx)][x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=(x+y+z)^2上式也即x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=(x+y+z)^2/[3+9(xy+yz+zx)]注意到：因为x^2+y^2+z^2=1,所以(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1+2(xy+yz+zx)于是x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=[1+2(xy+yz+zx)]/[3+9(xy+yz+zx)]只要证明[1+2(xy+yz+zx)]/[3+9(xy+yz+zx)]>=1/4即可化简后上式等价于：xy+yz+zx=0k^>=4[m+1/m-m/(m^+1)]m/(m^+1)k^>=4(m^4+m^+1)/(m^+1)^k^>=4[3/4(m^+1)^+1/4(m^-1)^]/(m^+1)^k^>=3+[(m^-1)/(m^+1)]^k^≥3k≥根3或k≤-根3但由于k 为正实数,所以k≥3即yz/x+xz/y+xy/z≥根3 第四题(1/50)(x^2+y^2+z^2)(3^2+4^2+5^2)≥(1/50)(3x+4y+5z)^2=1/50[1/（x+y)+1/(y+z)+1/(z+x)]*[(x+y)+(3y+3z)+(2z+2x)]≥(1+√3+√2)^2 柯西不等式:(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)≥(ad+be+cf)^2打了很多字```望采纳```望加分```第二题不会做```努力了` 再问： 为什么这里：4^X+4^Y+4^(Z^2)=4^((x+y+z-z+z^2)=4^((x+y+z)+z^2-z)=4^(1+z^2-z)会直接变成这样啊？不懂 再答： 其实我也不会`````` 均值不等式不可以么？ 4^x+4^y+4^(z^2)≧3三次根号4^(x+y+z^2）① 上式中x+y+z^2=z^2-z+1,当z=1/2时取得最小值3/4 满足①式需要4^x=4^y=4^z^2 即x=y=z^2,此时求得x=1/4,y=1/4,z=1/2满足题意 最小值为3√2 上面那个好像看错了``````````` 我看到z^2之后才知道````我只会这样了 望采纳```望加分``````