设f为[0,+∞）上连续的严格递增函数,f(0)=0证明：ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-

证：设一实数c,使f(c)=b,(1)如果c≥a;∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy= a*b + ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy得 a*b = ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy又因 f(x)为[0,+∞）上连续的严格递增函数,则f^-1(x)也是在[0,+∞）上连续的严格递增函数,得因c≥a,- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy ≥ 0所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy(2)如果 c≤a∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy= a*b - ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy由于f^-1(x)也是在[0,+∞）上连续的严格递增函数,则- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy ≥ 0所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy等式成立。另,当- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy 或- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy 为0时,等号成立。由于f^-1(x)严格递增,所以当f(c)=f(a)时,即c=a时,有- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy = - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy = 0即f(a)=f(c)=b (前面已定义f(c)=b)