反比例函数几何面积问题

1。当P点固定时,求面积最小时的直线方程已知P(m,n),设直线方程为y=kx+b,与x轴y轴分别与A,B两点相交的坐标则为(-b/k,0),(0,b)将P点代入得,n=mk+b,k=(n-b)/m连接OP可知,三角形AOB的面积=三角形AOP的面积+三角形BOP的面积两个三角形的高分别为n,m,底OA=-b/k,OB=b所以三角形AOB的面积为:S=1/2*(-b/k)*n+1/2*b*m将k代入(因为kb为两个未知,去掉一个)S=-1/2*bmn/(n-b)+bm/2=bm/2*[1-n/(n-b)]=bm/2*b/(n-b)=m/2*b^2/(n-b)令n-b=X,则OB=b=X+nS=m/2*(X+n)^2/X=m/2*(X^2+2Xn+n^2)/X=m/2*(X+n^2/X+2n)求S最小值,即求(X+n^2/X)的最小值。根据公式a+b>=2倍根号(ab),(当且仅当a=b时,等号成立)X+n^2/X>=2n,当X=n^2/X,即X=n时,X+n^2/X=2n所以S最小=m/2*4n=2mn此时OB=b=X+n=2n,k=(n-b)/m=-n/m,OA=2m所以直线方程为y=-nx/m+2n,点P在线段的中点2。如果已知直线求点P则和上面方法相类似。只是将m,n用k,p来表示b=2n,k=-n/m,则n=b/2,m=-b/2k即为中点