在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC上任意一点,求证:AP的平方+PB*PC=25.

证：过A作直线AE⊥BC交BC于E点,设P点在B、E两点之间,已知AB=AC=5,则BE=CE=（PB+PC）/2,PE=BE-PB=（PB+PC）/2-PB=（PC-PB）/2 在直角△ACE和直角△AEP中,根据勾股定理,得下方程组：AE^2 +CE^2 =AE^2 +（PB+PC）^2 /4=AC^2=25 。(1) AE^2 +PE^2 =AE^2 +（PC-PB）^2/4=AP^2 。(2) (1)-(2)得 （PB+PC）^2 /4-（PC-PB）^2/4=25-AP^2 PB*PC=25-AP^2 故AP^2+PB*PC=25 即AP平方+PB*PC=25证明:做高AD AP平方=AD平方+PD平方 PB*PC=(BD-PD)(CD+PB)=BD平方-PD平方 AP^2+PB乘以PC =AD平方+PD平方+BD平方-PD平方 =AD平方+BD平方 =5平方=25