数列an满足a1=1/3,a(n+1)=an^2/an^2-an+1,n=1,2.

(1)易知a2=1/7,a3=1/43 (2)因a(n+1)=an^2/(an^2-an+1)则1/a(n+1)=1/an^2-1/an+1（取倒数）令bn=1/an,易知b1=1/a1=3则有b(n+1)=bn^2-bn+1即有1/[b(n+1)-1]=1/[bn(bn-1)]=1/(bn-1)-1/bn（移项、取倒数、裂式）即有1/bn=1/(bn-1)-1/[b(n+1)-1]即有an=1/(bn-1)-1/[b(n+1)-1]于是有：a1=1/(b1-1)-1/(b2-1)a2=1/(b2-1)-1/(b3-1)。。。an=1/(bn-1)-1/[b(n+1)-1]将以上各式相加得a1+a2+。。。+an=1/(b1-1)-1/[b(n+1)-1]（中间项抵消）注意到b(n+1)=1/a(n+1),且b1=3则a1+a2+。。。+an=1/2-a(n+1)/[1-a(n+1)]（题中结论有误!） (3)由（2）知b(n+1)-1=bn^2-bn注意到0(bn-1)^2于是有b(n+1)-1>(bn-1)^2>[b(n-1)-1]^(2^2)>。。。>(b1-1)^(2^n)注意到b1=3则有b(n+1)-1>2^(2^n) 又由（2）知b(n+1)=bn^2-bn+1注意到0