设a>0，函数f（x）=ax+bx2+1，b为常数．

（1）证明f′（x）=-ax2-2bx+a(x2+1)2，令f′（x）=0，得ax2+2bx-a=0（*）∵△=4b2+4a2>0，∴方程（*）有两个不相等的实根，记为x1，x2（x1<x2），则f′（x）=-a(x-x1)(x-x2) (x2+1)2，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：可见，f（x）的极大值点和极小值点各有一个．（2） 由（1）得f(x1)=ax1+bx12+1=-1f(x2)=ax2+bx22+1=1即ax1+b=-x12-1ax2+b=x22+1两个方程左右两边相加，得a（x1+x2）+2b=x22-x12．∵x1+x2=-2ba，∴x22-x12=0，即（x2+x1）（x2-x1）=0，又x1<x2，∴x1+x2=0，从而b=0，∴a（x2-1）=0，得x1=-1，x2=1，代入得a=2．