如图3,梯形ABCD中,AD//BC,S梯形ABCD=S,S△AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3

证明：∵AD//BC∴△BOC∽△AOD从而 OB^2:OD^2=S△BOC:S△AOD(相似三角形面积比等于对应边平方比)则 OB:OD=√(S△BOC):√(S△AOD) ①又 △AOB与△AOD等高,设为H∴ S△AOB:S△AOD=(1/2*OB*H):(1/2*OD*H)=OB:OD ②由①②得 S△AOB:S△AOD=√(S△BOC):√(S△AOD)则 S3:S1=√S2:√S1∴S3=S1*√S2:√S1=√S1*√S2 ③又 △ABC与△BCD同底,等高∴ S△ABC=S△BCD　　④又 S△COD= S△BCD- S△BOC　⑤S△AOB= S△ABC- S△BOC ⑥由④⑤⑥得 S△COD=S△AOB=S3 ⑦　　又 S△AOD=S1 ⑧　　　S△BOC=S2 　⑨从而 S=S△AOD+S△BOC+S△AOB+S△COD 　　由⑦⑧⑨得 S=S1+S2+S3+S3=S1+2S3+S2 ⑩　　由③⑩得 S=S1+2*√S1*√S2+S2=(√S1+√S2)^2∴√S=√S1+√S2 ⑾　　由③⑾得 √S1*√S2=S3,√S1+√S2=√S又 方程x^2-√S*x+S3=0 的两根和 X1+X2=√S,两根积 X1*X2=S3 ∴根据韦达定理,得 √S1,√S2是方程x^2-√S*x+S3=0的二根。