如图,抛物线y=x²+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所在的直线沿y轴向上平移,使

（1）因为抛物线方程为：y＝X^2＋4X 配方得：y＝(X＋2)^2－4,所以抛物线的顶点坐标为（－2,－4）。即A的坐标为（－2,－4） （2）令y＝0,解得X＝0或－4,所以B点坐标为（－4,0）,因为A点到X轴距离是4 所以根据勾股定理得：AB＝OA＝2√5 情形一：若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形 因为OB＝4＜2√5,所以OB＜AB＝OA 所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边 所以只能是OA、AB作为菱形的两边,OB作为菱形的对角线 所以P点是A点关于X轴的对称点 所以P点坐标为P1（－2,4） （因为此时OP1//AB,所以P1一定在直线L上） 情形二：若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形 因为OB＝4＜2√5,所以OB＜AB＝OA 所以只能是OB作为梯形的一腰 容易求出直线L的解析式是Y＝－2X 因为P在L上,所以可设其坐标是P（X,－2X） 因为PA＝OB＝4,A点坐标是（－2,－4） 所以根据勾股定理得：(X＋2）^2＋(－2X＋4)^2＝16 解得：X＝2/5或X＝2 因为当X＝2时,四边形ABOP是平行四边形,不合题意 所以X＝2/5 此时P的坐标是P2（2/5,－4/5） 情形三：若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形 显然只能是AB作为梯形的下底 过A、B分别作L的垂线,垂足分别为P4、P3（两点坐标均可表示为（X,－2X）） 设O到AB的距离是H,根据三角形面积公式可得下列等式：AB*H＝OB*4 所以H＝8√5/5,即AP4＝AP3＝8√5/5 根据勾股定理得：OA^2＝AP4^2＋OP3^2 将OA＝2√5,AP4＝8√5/5代入得：OP4＝6√5/5 所以得5X^2＝36/5,X＝6/5（－6/5舍去） 所以此时P点坐标为P4（6/5,－12/5） 同理可求出P3（4/5,－8/5） 即以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形时P点坐标是P3（4/5,－8/5）或P4（6/5,－12/5） （3） 因为直线L的解析式是：y＝－2X,P的坐标伟（X,－2X),此时以A、B、O、P为顶点的四边形可以看着是一个梯形,上底为OP＝√5|X|,下底为AB＝2√5,高为H＝8√5/5,所以S＝(√5|X|＋2√5)*(8√5/5)/2 ＝4|X|＋8 所以有：4＋6√2＜4|X|＋8＜6＋8√2 所以：3√2/2－1＜|X|＜2√2－1/2 所以当X＞0时,X的取值范围是3√2/2－1＜X＜2√2－1/2 当X＜0时,3√2/2－1＜－X＜2√2－1/2 所以：X＜1－3√2/2或X＞1/2－2√2 所以当X＜0时,X的取值范围是：1/2－2√2＜X＜1－3√2/2