杨辉三角的规律

杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。 n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行。 例如在中，2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数1 2 1。 杨辉三角以正整数构成，数字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 第n行的数字个数为n个。 第n行的第k个数字为组合数。 第n行数字和为2n − 1。 除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说，第n行第k个数字等于第n - 1行的第k − 1个数字与第k个数字的和）。这是因为有组合恒等式：。可用此性质写出整个杨辉三角形。

杨辉三角 杨辉三角形，也叫做贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 杨辉三角形有许多有趣的规律，我搜集了其中一些比较重要的规律： 1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为2^(n－1)。（2的（n-1）次方）。 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。 7.两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第(n+1)行。 这就是著名的杨辉三角：

杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。 n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行。 例如在中，2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数1 2 1。 杨辉三角以正整数构成，数字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 第n行的数字个数为n个。 第n行的第k个数字为组合数。 第n行数字和为2n − 1。 除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说，第n行第k个数字等于第n - 1行的第k − 1个数字与第k个数字的和）。这是因为有组合恒等式：。可用此性质写出整个杨辉三角形。 1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为2^(n－1)。（2的（n-1）次方）。 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。 7.两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第(n+1)行。 这就是著名的杨辉三角：

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律。 2 历史 　　北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。 　　杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。 　　元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 　　意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。 　　在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 　　布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。 　　近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle） 　　历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家 　　·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 　　·杨辉 中国南宋1261《详解九章算法》记载之功 　　·朱世杰中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式 　　·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》 　　·阿皮亚纳斯德国 1527 　　·米歇尔`斯蒂费尔德国 1544《综合算术》二项式展开式系数 　　·薛贝尔 法国 1545 　　·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》 　　其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 3 应用 　　性质6和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。 　　与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 　　例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数， 　　即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2 　　第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数 　　即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 　　以此类推。 　　又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n,m-1)，即为从n个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 　　因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 我希望对你有用