方程设元的技巧

问什么就设什么。找到等量关系式，比较有代表性的字是“是、比”…

设元是列方程或方程组解应用题的重要环节。只有设得巧，才能解得妙。那么应怎样设元呢？这里结合实例介绍四种方法。 1、直接设元 这是一种求什么就设什么的设元方法。 例1 A、B两地相距360km，甲车从A地开往B地，每小时行驶72km；甲车出发25min后，乙车从B地开往A地，每小时行驶48km。两车相遇后各自仍按原速度原方向继续行驶，则甲车从出发到相遇后两车相距100km时共行驶了多少小时？ 解：设甲车从出发到相遇后两车相距100km时共行驶了x h，乙车共行驶了y h。 可列方程组 解得 答：甲车从出发到相遇后相距100km时共行驶了4h。 2、直接设元并辅以参数 有些应用题，直接设元列方程组比较困难，或列出来的方程组比较复杂，此时可考虑适当引入参数。 例2 从甲、乙两车站同时相向各发出一辆车，再隔相同时间又同时各发出一辆车，依次不断发车，且所有车速都相同。两站间有一骑自行车者，他发现每20min后面就有一辆从乙站发来的汽车追上他，每5min就有一辆甲站发出的车迎面遇上他。甲、乙两车站每隔多少分钟发一次车？ 解：设甲、乙两车站每隔x min发一次车，汽车的速度为 ，骑自行车者的速度为 。 依题意得 由①、②消去x，得 ，将它代入①，解得 。 答：甲、乙两车站每隔8min发一次车。 3、间接设元 例2中的参数 和 是设而不求的，但没有这些参数，列方程组就比较困难。如果上述两种设元方法难以解决问题，那么我们就可考虑使用间接设元法。 例3 新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元。为了发展农业科技，将乙种书籍送货下乡，共卖得1350元。若按甲、乙两种书的成本分别计算，甲种书赢利25%，乙种书亏本10%，该书店这一天共赢利（或亏本）多少元？ 解：设这天所卖全部书籍中，甲书的成本为x元，乙书的成本为y元。 可列方程组 解得 ∵ ∴总的来说是赢利而不是亏本。 答：该书店这一天赢利162元。 4、间接设元并辅以参数 与直接设元类似，有些应用题在间接设元后，也要引入适当的参数才比较容易列出方程组。 例4 甲、乙两人分别从A、B两地同时同向出发，36min后甲追上乙；若同时出发9min后，乙停止前进等候甲，则甲再有10min就可追上乙。甲走完两地间的路程需几分钟？ 解：设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，两地间的路程为s m。 根据题意可列方程组 由①、②消去s，得 。将它代入②，得 。故 。 答：甲走完AB间的路程需

设元是列方程或方程组解应用题的重要环节。只有设得巧，才能解得妙。 1、直接设元 这是一种求什么就设什么的设元方法。 例1 A、B两地相距360km，甲车从A地开往B地，每小时行驶72km；甲车出发25min后，乙车从B地开往A地，每小时行驶48km。两车相遇后各自仍按原速度原方向继续行驶，则甲车从出发到相遇后两车相距100km时共行驶了多少小时？ 解：设甲车从出发到相遇后两车相距100km时共行驶了x h，乙车共行驶了y h。 可列方程组 解得 答：甲车从出发到相遇后相距100km时共行驶了4h。 2、直接设元并辅以参数 有些应用题，直接设元列方程组比较困难，或列出来的方程组比较复杂，此时可考虑适当引入参数。 例2 从甲、乙两车站同时相向各发出一辆车，再隔相同时间又同时各发出一辆车，依次不断发车，且所有车速都相同。两站间有一骑自行车者，他发现每20min后面就有一辆从乙站发来的汽车追上他，每5min就有一辆甲站发出的车迎面遇上他。甲、乙两车站每隔多少分钟发一次车？ 解：设甲、乙两车站每隔x min发一次车，汽车的速度为 ，骑自行车者的速度为 。 依题意得 由①、②消去x，得 ，将它代入①，解得 。 答：甲、乙两车站每隔8min发一次车。 3、间接设元 例2中的参数 和 是设而不求的，但没有这些参数，列方程组就比较困难。如果上述两种设元方法难以解决问题，那么我们就可考虑使用间接设元法。 例3 新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元。为了发展农业科技，将乙种书籍送货下乡，共卖得1350元。若按甲、乙两种书的成本分别计算，甲种书赢利25%，乙种书亏本10%，该书店这一天共赢利（或亏本）多少元？ 解：设这天所卖全部书籍中，甲书的成本为x元，乙书的成本为y元。 可列方程组 解得 ∵ ∴总的来说是赢利而不是亏本。 答：该书店这一天赢利162元。

列方程解应用题有两个关键步骤：一是设未知数；二是找出数量间的等量关系。下面只从“设未知数”这一角度，帮助同学们复习列方程解应用题。 设未知数的方法可分为如下三种： 一. 设直接未知数 此方法的特点是求什么设什么，这是最常用的方法。 例1. 爷爷今年78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁和16岁。几年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和？ 分析与解：设x年后爷爷年龄等于三个孙子的年龄之和，这时爷爷的年龄为（78+x）岁，三个孙子的年龄分别为（27+x）岁、（23+x）岁和（16+x）岁，根据题意可列方程：  解得： 答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和。 二. 设间接未知数 当直接设未知数列方程比较困难或列出的方程不易求解时，就要设所求问题相关的间接未知数。 例2. 四、五年级共植树80棵，五年级植树的棵数比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？ 分析与解：这道题如果直接设五年级植树的棵数为x，会给列方程带来很大的困难（同学们可以试试看），而设间接未知数就比较容易了。 设四年级植树x棵，根据题意可列方程：  答：五年级植树52棵。 三. 设辅助未知数 有些题目没有给出解题所必需的条件，所设未知数的值无法求出，这时我们可以增设辅助未知数来架桥铺路，建立已知条件和所求问题之间的关系，使问题迎刃而解。 例3. 某考生参加了若干次考试，在最后一次考试时他发现，如果这次他考97分，那么他的平均分是90分；如果这次他考73分，他的平均分则是87分。该考生一共参加了多少次考试？ 分析与解：题中没有给出该考生前几次考试的总分，我们可以假设该考生一共参加了x次考试，前（x-1）次考试的总分是s，那么：  两式相减得：。所以该考生一共参加了8次考试。 在上面的解法中，未知数s是设而不求的，起“桥梁”的作用，一旦“过河”，“桥”便自然拆除。 希望帮到你