高数定理求证明

参考前面定理16。19的证明：1、充分性：设B的边界是零面积集,做闭矩形J使得J的内部包含B的闭包。考察在B上定义的常值函数f=1,这是f_B在J上的不连续点集恰好是B的边界,是零面积集,当然也是零测集,故f_B在J上可积。即f在B上可积,于是B是有面积的。2、必要性：设B是有面积的,做闭矩形J使得J的内部包含B的闭包。由于f=1在B上可积,即f_B在J上可积,故f_B在J上的不连续点集是零测集,注意到不连续点集恰好是B的边界,因此B的边界是零测集。由定理16。9的第5个结论知B的边界是零面积集。