设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)

这类问题可用证明齐次线性方程组同解的方法显然,AX=0 的解都是 A'AX=0 的解。反之,若X1是 A'AX=0的解则 A'AX1=0所以 X1'A'AX1=0故 (AX1)'(AX1)=0所以有 AX1=0即 A'AX=0 的解是 AX=0 的解故 AX=0 与 A'AX=0 同解所以 r(A) = r(A'A)。同理有 r(A') = r((A')'A') = r(AA')而 r(A') = r(A)所以 r(A)=r(A'A)=r(AA')。