如何推出cos x的导数是-sin

根据导数定义：(cosx)'=lim {t-->0} [cos(x+t)-cosx]/t=lim {t-->0} [cosx*cost-sinx*sint-cosx]/t=lim {t-->0} [cosx*(cost-1)-sinx*sint]/t=lim {t-->0} [cosx*(cost-1)]/t + lim {t-->0} -(sinx*sint)/t由于cost-1等价于-(1/2)t^2sint等价于t,用等价无穷小替换：原式=lim {t-->0} [cosx*(-1/2)t^2]/t + lim {t-->0} -(sinx*t)/t=-sinx 直接替换t^2结果虽然是一样的,但是逻辑上有问题。cost=1 - (t^2)/2! + (t^4)/4! - (t^6)/6! + 。。。所以cost-1等价于-(t^2)/2如果你直接换成t^2,由于分子式t^2,分母是t,所以分式极限也是0。但是这是巧合,如果分母也是t^2量级的话,结果就不一样了。