微积分怎么学?如何反导数?

反导数,即不定积分的求法,是求导数的逆过程当你学了求导数后,就会求积分了不定积分的主要求法：第一换元法：包括显式代入法和隐式代入法显式代入法,即令t = 。。。 g(x),dt = 。。。 g(x) dx这种的形式,主要是化简积分式子隐式代入法,即凑微分法,利用微分的原理进行隐性代入例如∫ √(1 + x) dx = ∫ √(1 + x) d(1 + x),过程中可看到dx变为d(1 + x)这是微分法,d(1 + x) = (1)'dx + (x)'dx = 0 + (1)dx = dx第二换元法：主要是用三角函数代入法以达到消除根号的效果对于√(a² - x²)、1/√(a² - x²)、√(a² - x²)/x等等,令x = a*sinθ 或 x = a*cosθ对于√(a² + x²)、1/√(a² + x²)、√(a² + x²)/x等等,令x = a*tanθ 或 x = a*cotθ对于√(x² - a²)、1/√(x² - a²)、√(x² - a²)/x等等,令x = a*secθ 或 x = a*cscθ如果被积函数中有复杂的三角函数,如sinθ/(sin²θ + cos³θ),可考虑用万能代换u = tan(x/2)但要注意第三个代入法,即令x = a*secθ 或 x = a*cscθ,他们的反函数都是断续的,需分区间讨论分部积分法：这是透过导数的乘法法则而来的即∫ vdu = uv - ∫ udv的形式,目地是能对复杂部分的被积函数求导以进行化简通常第一步是凑微分,例如∫ xcosx dx = ∫ x dsinx = xsinx - ∫ sinx dx但有些则直接用,例如∫ lnx dx = xlnx - ∫ x d(lnx) = xlnx - ∫ dx根据规则反对幂指三来做,即反三角函数：arcsin(x),arctan√[x - √(1 - x²)],arcsec(x/2)等对数函数：lnx,ln[x + √(1 + x²)],log_7(8x)等幂函数：x³,x^(8a),x^(17)等指数函数：e^(6x),a^(5x)等三角函数：sinx,tan(8x),sec(7x)反三角函数最复杂,所以做v,而三角函数最简单,所以做u有些积分会出现循环现象,只需移位即可,例如∫ e^x*cosx dx = ∫ e^x dsinx = e^x*sinx - ∫ sinx de^x = e^x*sinx - ∫ e^x*sinx dx= e^x*sinx - ∫ e^x d(-cosx) = e^x*sinx + e^x*cosx - ∫ cosx de^x= e^x*sinx + e^x*cosx - ∫ e^x*cosx dx,可见∫ e^x*cosx dx与原先的积分重复了,所以移到等号左边2∫ e^x*cosx dx = (sinx + cosx)*e^x,移到左边相加,然后两边都除以常数,使左边变回原式样子∫ e^x*cosx dx = (1/2)(sinx + cosx)*e^x + C,C为任意常数有理积分法：即利用部分分式和待定系数法原理,将一个大分式拆解为数个小分式进行化简例如求∫ dx/[(x + 1)(x² + 1)],这样的形式很难求,于是采用有理积分法设1/[(x + 1)(x² + 1)] = A/(x + 1) + (Bx + C)/(x² + 1),分子比分母少一次指数右边通分得1/[(x + 1)(x² + 1)] = [A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)]/[(x + 1)(x² + 1)]分母相同,只看分子：1 ≡ A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1),这是个恒等式,无论x代入什么数字,两边都相等解法一：代入x = -1,1 = A(2) + 0,得出A = 1/2 代入x = 0,1 = A + C = 1/2 + C,得出C = 1/2 代入x = 1,1 = (1/2)(2) + (B + 1/2)(2) = 1 + 2B + 1,得出B = -1/2即1/[(x + 1)(x² + 1)] = 1/[2(x + 1)] + (- x + 1)/[2(x² + 1)]所以∫ dx/[(x + 1)(x² + 1)] = (1/2)∫ dx/(x + 1) + (1/2)∫ (- x + 1)/(x² + 1) dx解法二：1 ≡ A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1),拆开括号1 = Ax² + A + Bx² + Cx + Bx + C,再将同类项组起0x² + 0x + 1 = (A + B)x² + (B + C)x + (A + C),再比较两边的系数,得A + B = 0B + C = 0A + C = 1解方程,得：A = 1/2,B = -1/2,C = 1/2所以1/[(x + 1)(x² + 1)] = 1/[2(x + 1)] + (- x + 1)/[2(x² + 1)]要用的公式其实还有许多,有数百条,但上面的方法已经足够解一般的题目了。求完不定积分,记住别忘了常数C,这个代表任意常数,要在题目给定足够的条件才能求得例如给了一个坐标,再代入结果,就找到常数C的值了。