已知函数f（x）=x3+x，（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的增函数。

解：函数f（x）的定义域为R， 

（1）函数f（x）是R上的奇函数，

因为对任意的x∈R，

都有f（-x）=（-x）^3+（-x）= -x^3-x= -f（x）

所以f（x）是R上的奇函数。

（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f（x1）-f（x2）=（x1^3+x1）-（x2^3+x2）=（x1-x2）[（x1+1/2x2）^2+3/4x2^2+1]，

由x1＜x2，得x1-x2＜0，（x1+1/2x2）^2+3/4x2^2+1＞0，

于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以，函数f（x）在R上是增函数。

单调性的定义：

对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；

当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。