如图,在平面直角坐标系中,直线y=—3/4x+6分别交x轴、y轴于C,A两点.将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到

如图①,在平面直角坐标系xoy中,直线 y=-33x+2分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线AM绕着点A顺时针旋45°得到射线AN．点D为AM上的动点,点B为AN上的动点,点C在∠MAN的内部．
（1）求线段AC的长；
（2）当AM∥x轴,且四边形ABCD为梯形时,求△BCD的面积；
（3）求△BCD周长的最小值；
（4）当△BCD的周长取得最小值,且 BD=526时,△BCD的面积为．（第（4）问需填写结论,不要求书写）考点：一次函数综合题．
专题：动点型．
分析：（1）因为直线 y=-33+2与x轴、y轴分别交于C、A两点,所以分别令y=0,x=0,即可求出点C、点A的坐标,即可求出OA、OC的长度,利用勾股定理即可求出AC=4；
（2）因为AM∥x轴,且四边形ABCD为梯形,所以需分情况讨论：
①当AD∥BC时,因为将射线AM绕着点A顺时针旋45°得到射线AN,点B为AN上的动点,所以∠DAB=45度．利用两直线平行,内错角相等可得∠ABO=45°,OB=OA=2,又因 OC=23,所以 BC=23-2,所以 S△BCD=12BC•OA=23-2．
②当AB∥DC时,△BCD的面积=△ADC的面积,因为OA=2,OC=2 3,AC=4,所以∠DAC=∠ACO=30°,作CE⊥AD于E,因为∠EDC=∠DAB=45°,所以EC=ED=0。5AC=2,AE=2 3,所以AD=2 3-2,S△BCD= 23-2．
（3）可作点C关于射线AM的对称点C1,点C关于射线AN的对称点C2．由轴对称的性质,可知CD=C1D,CB=C2B．
∴CB+BD+CD=C2B+BD+C1D=C1C2,并且有∠C1AD=∠CAD,∠C2AB=∠CAB,AC1=AC2=AC=4．∠C1AC2=90°．
连接C1C2．利用两点之间线段最短,可得到当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时,△BCD的周长最小,最小值为线段C1C2的长．
（4）根据（3）的作图可知四边形AC1CC2的对角互补,因此,∠C2C C1=135°．
利用∠B CC2+∠DCC1+∠BCD=135°,∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD=180°,结合轴对称可得∠BCD=90°．
利用勾股定理得到CB2+CD2=BD2=（ 526）2,因为CB+CD=4 2- 526,可推出CB•CD的值,进而求出三角形的面积．
解（1）∵直线y= -33x+2与x轴、y轴分别交于C、A两点,
∴点C的坐标为（2 3,0）,点A的坐标为（0,2）．
∴AC=4．
（2）当AD∥BC时,
依题意,可知∠DAB=45°,
∴∠ABO=45°．
∴OB=OA=2．
∵OC=2,
∴BC=2 3-2．
∴S△BCD= 12BC•OA=2 3-2．
当AB∥DC时,
可得S△BCD=S△ACD．
设射线AN交x轴于点E,
∵AD∥x轴,
∴四边形AECD为平行四边形．
∴S△AEC=S△ACD．
∴S△BCD=S△AEC= 12CE•OA=2 3-2．
综上所述,当AM∥x轴,且四边形ABCD为梯形时,S△BCD=2 3-2．
（3）作点C关于射线AM的对称点C1,点C关于射线AN的对称点C2．
由轴对称的性质,可知CD=C1D,CB=C2B．
∴CB+BD+CD=C2B+BD+C1D=C1C2连接AC1、AC2,
可得∠C1AD=∠CAD,∠C2AB=∠CAB,AC1=AC2=AC=4．
∵∠DAB=45°,
∴∠C1AC2=90°．
连接C1C2．
∵两点之间线段最短,
∴当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时,△BCD的周长最小,最小值为线段C1C2的长．
∴△BCD的周长的最小值为4 2．
（4）根据（3）的作图可知四边形AMCN的对角互补,其中∠DAB=45°,因此,∠C2C C1=135°．
∵∠B CC2+∠DCC1+∠BCD=135°,∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD=180°,
∠BC2C=∠BCC2,
∠DCC1=∠DC1C,
∴∠BCD=90°．
∴CB2+CD2=BD2=（ 526）2
∵CB+CD=4 2- 526,
∴2CB•CD=（ 1926）2-（ 526）2∴ CB•CD=283．
∴ S=12•CB•CD=143．
点评：本题需仔细分析题意,结合图形,利用轴对称、勾股定理来解决问题,另外解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
参考!1