已知椭圆Cx^2/9+y^2/8=1的左右两个焦点分别为F1F2,过F1作一直线交椭圆C于AB两点

1。 面积最大值为16/3。

a=√9=3,b=√8=2√2,c=√(a²-b²)=1,故|F1F2|=2c=2。

过F1的直线方程为：x+1=ay（这么设是为了顾及a=0即与x轴垂直的情况）,设方程与椭圆交点A(x1,y1), B(x2,y2),显然y1和y2是异号的。

S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|y1|/2 + |F1F2|*|y2|/2
=|y1|+|y2|
=|y1-y2|

(ay-1)²/9+y²/8=1,得(8a²+9)y²-16ay-64=0。

故y1+y2=16a/(8a²+9),y1y2=-64/(8a²+9)。



这个64x+1/x的函数,在x=1/8时最小,然后x增加它就递增。因为a²+1>1,所以|a|递增后,分母递增,因此面积是递减的。所以a=0时（直线与x轴垂直）,面积最大,等于16/3。两个点是A(-1,8/3)和B(-1,-8/3)。

2。 tan F1AF2 = 3/4。

此时AF1F2是直角三角形,tan F1AF2=|F1F2|/|AF1|=2/(8/3)=3/4。