已知：a+b+c=0，则a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)+3
已知：a+b+c=0，则a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)+3
最佳回答
帅气的雪碧
2026-04-03 11:49:23
若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b
a(
1
b+
1
c)+b(
1
c+
1
a)+c(
1
a+
1
b)
＝a•
b+c
bc+b•
a+c
ac+c•
a+b
ab
＝a•
−a
bc+b•
−b
ac+c•
−c
ab
＝−
a3+b3+c3
abc
∵a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）
∴当a+b+c=0时，a3+b3+c3-3abc=0
∴a3+b3+c3=3abc
∴原式=-3+3=0，
故答案为0．
a(
1
b+
1
c)+b(
1
c+
1
a)+c(
1
a+
1
b)
＝a•
b+c
bc+b•
a+c
ac+c•
a+b
ab
＝a•
−a
bc+b•
−b
ac+c•
−c
ab
＝−
a3+b3+c3
abc
∵a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）
∴当a+b+c=0时，a3+b3+c3-3abc=0
∴a3+b3+c3=3abc
∴原式=-3+3=0，
故答案为0．
最新回答共有2条回答
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2026-04-03 11:49:23失眠的小鸭子
回复若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-ba(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)＝a•b+cbc+b•a+cac+c•a+bab＝a•−abc+b•−bac+c•−cab＝−a3+b3+c3abc∵a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）∴当a+b+c=0时，a3+b3+c3-3abc=0∴a3+b3+c3=3abc∴原式=-3+3=0，故答案为0．
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