为什么收敛数列一定是有界数列?

因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数,n>N时,都有 (n>N),从而有 。取,则对一切的n,都有,所以数列有界。根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的。但必须注意：有界数列不一定收敛。例如,数列是有界的。因为,但它却是发散的(见例4)。可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件．