直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．

学习时间:2026-10-22 10:33:34 阅读：3144

直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1平行？证明你的结论．

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完美的橘子

2026-10-22 10:33:34



（1）证明：由已知平面ABCD⊥平面BB₁C₁C
又∵∠BAD=∠ADC=90°，
且AB=2AD=2CD=2，
∴AC＝
2，∠BAC=45°，
在△ABC中，由余弦定理得：
BC＝
AB2+AC2−2AB•AC•cos∠BAC=
2，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．…（6分）
（2）存在点P，P为A₁B₁的中点．
下面证明：
∵P为A₁B₁的中点，∴PB1

∥
＝
1
2AB，又CD

∥
＝
1
2AB，
∴PB1

∥
＝CD，
∴四边形DCB₁P为平行四边形，∴DP∥CB₁，
又CB₁在平面BCB₁内，
∴DP与平面BCB₁平行．…（12分）

直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．

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