A为m*n阶实矩阵,r(A)=n

不用那么复杂
对任一m维列向量X
X^T(AA^T)X
= (A^TX)^T(A^TX)
>=0 (实向量的自内积的非负性)
所以 AA^T 半正定 #
若要说明 AA^T 非正定
则由于 r(A^T)=r(A)=n < m (A^T的列数)
所以 A^TX=0 有非零解 X0
此时 X0^T(AA^T)X0 = = (A^TX0)^T(A^TX0) =0
故 AA^T非正定。