已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，+∞)上是增函数．如果函数y=x+3mx(x＞0)的值域是[6，

题文

已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+3mx(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）求函数f(x)=x2+ax2（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，函数y=x+3mx(x＞0)在(0，3m]上是减函数，在[3m，+∞)上是增函数，
∴ymin=3m+3m3m=23m，…（4分）
∴23m=6，∴3^m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x²=t，∵x∈[1，2]，
∴t∈[1，4]，f(t)=t+at，
原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°当a＞4，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时g(a)=f(4)=4+a4，…（9分）
2°当1≤a≤2，即1≤a≤16时，g(a)=f(a)=2a，
3°当a＜1，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=1+a，0＜a＜12a，1≤a≤164+a4，a＞16

解析

3mx

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。