题文
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，S2．则S1S2为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）（i）由f（x）=x3-x得f′（x）=3x2-1=3（x-33）（x+33），当x∈（-∞，-33）和（33，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-33，33）时，f′（x）＜0，
因此，f（x）的单调递增区间为（-∞，-33）和（33，+∞），单调递减区间为（-33，33）；
（ii）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12-1）（x-x1）+x13-x1，即
即y=（3x12-1）x-2x13，由y=(3x31-1)x-2x31y=x3-1；
解得x=x1或x=-2x1故x2=-2x1，
进而有S1=|∫-x1x1（x3-3x13x+2x13）dx|=274x41，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得
x3=-2x2和S2=274x42，∴S1S2=116；图形
（Ⅱ）类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：
若对于任意不等于-b3a的实数x1，曲线C′与其在点P1（x1，g（x1））处的切线交于另一点P2（x2，g（x2）），
曲线C′与其在点P2（x1，g（x1））处的切线交于另一点P3（x3，g（x1）），线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成封闭
图形的面积分别记为S1，S2，则S1S2为定值；
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，
故可将曲线y=g（x）的对称中心（-b3a，g（-b3a））
平移至坐标原点，因而不妨设g（x）=ax3+hx，且x1≠0，类似（Ⅰ）（ii）的计算可得：S1=274a21，S2=27×164a21≠0，故S1S2=116；
解析
33考点
据考高分专家说，试题“（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
