已知函数f(x)=124-x2．写出函数f的定义域，并求函数f的单调区间；设过曲线y=f上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形

题文

已知函数f(x)=124-x2．
（Ⅰ）写出函数f（x）的定义域，并求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设过曲线y=f（x）上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最小值，并求此时点P的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是[-2，2]．
函数f（x）的导函数是f′(x)=-x24-x2．
令f'（x）＞0，即-x24-x2＞0，解得-2＜x＜0，所以函数f（x）的递增区间是（-2，0）；
令f'（x）＜0，即-x24-x2＜0，解得0＜x＜2，所以函数f（x）的递减区间是（0，2）．
（Ⅱ）设P(x0，  124-x02)，则切线的斜率k=f′(x0)=-x024-x02，
则切线l的方程是y-124-x02=-x024-x02(x-x0)，
设切线l与x轴、y轴的交点为A、B，
令y=0，由题意可知x₀≠0，解得x=4x0，所以A(4x0，0)；
令x=0，解得y=24-x02，所以B(0，24-x20)，
所以S△ABO=12|x||y|=12|4x0|24-x02=4x02(4-x02)≥4x02+4-x022=2，
当且仅当x₀²=4-x₀²，即x0=±2时，△ABO面积的最小值为2．
此时，点P的坐标是(±2，  22)．

解析

-x24-x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=124-x2．（Ⅰ）写.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。