对于函数f，若存在x0∈R，使f=x0成立，则称x0为f的不动点．如果函数f=x2+abx-c有且仅有两个不动点0、2．求b、c

题文

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为
f（x）的不动点．如果函数f（x）=x2+abx-c有且仅有两个不动点0、2．
（1）求b、c满足的关系式；
（2）若c=时，相邻两项和不为零的数列{a_n}满足4Snf(1an)=1（S_n是数列{a_n}的前n项和），求证：(1-1an)an+1＜1e＜(1-1an)an；
（3）在（2）的条件下，设bn=-1an，Tn是数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设 x2+abx-c=x的不动点为0和2
∴-ac=04+a2b-c=2即a=0b=1+c2即b、c满足的关系式：b=1+c2且c≠0
（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=x22(x-1)（x≠1），
由已知可得2S_n=a_n-a_n²①，且a_n≠1．
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²②，
①-②得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n=-a_n-1或a_n=-a_n-1=-1，
当n=1时，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，
若a_n=-a_n-1，则a₂=1与a_n≠1矛盾．∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n
∴要证待证不等式，只要证(1+1n)-(n+1)＜1e＜(1+1n)-n，
即证(1+1n)n＜e＜(1+1n)n+1，
只要证nln（1+1n）＜1＜（n+1）ln（1+1n），即证1n+1＜ln（1+1n）＜1n．
考虑证不等式x1+x＜ln（x+1）＜x（x＞0）**．
令g（x）=x-ln（1+x），h（x）=ln（x+1）-x1+x（x＞0）．
∴g'（x）=x1+x，h'（x）=x(1+x)2，
∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上都是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0时，x1+x＜ln（x+1）＜x．
令x=1n则**式成立，∴(1-1an)an+1＜1e＜(1-1an)an，
（3）由（2）知b_n=1n，则T_n=1+12+13+…+1n
在1n+1＜ln（1+1n）＜1n中，令n=1，2，3，…，2011，并将各式相加，
得12+13+…+12012＜ln21+ln32+…+ln20122011＜1+12+13+…+12011．
即T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．

解析

x2+abx-c

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。