题文
已知函数f(x)=12ax2+2x，g（x）=lnx．（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程g(x)x=f′(x)-(2a+1)在区间(1e，e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-2a，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
所以-2a≤1，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．
当a＜0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是a≥0．
（Ⅱ）把方程g(x)x=f′(x)-(2a+1)整理为
lnxx=ax+2-(2a+1)，
即为方程ax2+（1-2a）x-lnx=0．
设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），
原方程在区间（1e，e）内有且只有两个不相等的实数根，
即为函数H（x）在区间（1e，e）内有且只有两个零点
H′(x)=2ax+(1-2a)-1x=2ax2+(1-2a)x-1x=(2ax+1)(x-1)x
令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-12a（舍）
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（1e，e）内有且只有两个不相等的零点，
只需H(1e)＞0H(x)min＜0H(e)＞0
即ae2+1-2ae+1=(1-2a)e+a+e2e2＞0H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0
∴a＜e2+e2e-1a＞1a＞1-ee2-2e
解得1＜a＜e2+e2e-1，
所以a的取值范围是（1， e2+e2e-1）．
解析
2a考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=12ax2+2x，g（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
