题文
将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S=
-1≤i≤j≤5xixj．问：
（1）当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；
（2）进一步地，对任意1≤i，j≤5有.xi-xj .≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值．说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值．x1+x2+x3+x4+x5=2006，且使S=
-1≤i≤j≤5xixj取到最大值，则必有|xi-xj|≤1（1≤i，j≤5）…（5分） （*）
事实上，假设（*）不成立，不妨假设x1-x2≥2，则令x1′′=x1-1，x2′=x2+1，xi′=xi （i=3，4，5），有x1′+x2′=x1+x2，x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1＞x1x2．
将S改写成S=
-1≤i≤j≤5xixj=x1x2+（x1+x2）（x3+x4+x5）+x3x4+x3x5+x4x5
同时有 S′=x1′x2′+（x1′+x2′）（（x3+x4+x5）+x3x4+x3x5+x4x5．
于是有S′-S=x1′x2′-x1x2＞0．
这与S在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾．
所以必有|xi-xj|≤1，（1≤i，j≤5）．
因此当x1=402，x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值． …（10分）
（2）当x1+x2+x3+x4+x5=2006，且|xi-xj|≤2时，只有
（1）402，402，402，400，400；
（2）402，402，401，401，400；
（3）402，401，401，401，401；
三种情形满足要求． …（15分）
而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1，xj′=xj+1调整下得到的．
根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式S=
-1≤i≤j≤5xixj变大．
所以在x1=x2=x3=402，x4=x5=400时S取到最小值．…（20分）
解析
-1≤i≤j≤5
考点
据考高分专家说，试题“将2006表示成5个正整数x1，x2，x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
