已知α，β是方程4x2-4tx-1=0的两个不等实根，函数f(x)=2x-tx2+1的定义域为[α，β]．求g=maxf-minf（

题文

已知α，β是方程4x²-4tx-1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f(x)=2x-tx2+1的定义域为[α，β]．
（Ⅰ）求g（t）=maxf（x）-minf（x）；
（Ⅱ）证明：对于ui∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sinu₁+sinu₂+sinu₃=1，则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)＜346． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设α≤x₁＜x₂≤β，则4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，∴4(x21+x22)-4t(x1+x2)-2≤0，  ∴2x1x2-t(x1+x2)-12＜0
则f(x2)-f(x1)=2x2-tx22+1-2x1-tx21+1=(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2](x22+1)(x21+1)
又t(x1+x2)-2x1x2+2＞t(x1+x2)-2x1x2+12＞0  ∴f(x2)-f(x1)＞0
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．（3分）
∵α+β=t， αβ=-14，∴g(t)=maxf(x)-minf(x)=f(β)-f(α)=(β-α)[t(α+β)-2αβ+2]α2β2+α2+β2+1=t2+1(t2+52)t2+2516=8t2+1(2t2+5)16t2+25（6分）
（Ⅱ）证：g(tanui)=8cosui(2cos2ui+3)16cos2ui+9=16cosui+24cosui16+9cos2ui≥216×2416+9cos2ui=16616+9cos2ui   (i=1，2，3)（9分）∴3







i=11g(tanui)≤11663







i=1(16+9cos2ui)=1166(16×3+9×3-9)3







i=1sin2ui)（15分）∵3







i=1sinui=1，且ui∈(0，π2)，  i=1，2，3      ∴33







i=1sin2ui≥(3







i=1sinui)2=1，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，∴1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)＜346．（14分）

解析

x21

考点

据考高分专家说，试题“已知α，β是方程4x2-4tx-1=0（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。