已知平面向量a=，b=．证明：a⊥b；若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+b，y=-sa+tb，且x⊥y

题文

已知平面向量a=（32，12），b=（12，32）．
（1）证明：a⊥b；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+（t²-k）b，y=-sa+tb，且x⊥y，试求s=f（t）的函数关系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，试求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分12分）
（1）证明：由题知|a|=|b|=1，且a•b=32×12-12×32=0，
∴a⊥b．（4分）
（2）由于x⊥y，则x•y=0，
从而-s|a|²+（t+sk-st²）a•b+t（t²-k）|b|²=0，
故s=f（t）=t³-kt．（8分）
（3）设t₁＞t₂≥1，
则f(t1)-f(t2)=t13-kt1-(t13-kt₂）
=（t₁-t₂）（t12+t1t2+t22-k），
∵s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴t12+t1t2+t22-k＞0，
即k＜t12+t1t2+t22在[1，+∞）上恒成立，
∵t12+t1t2+t22＞3，
∴只需k≤3即可．（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知平面向量a=（32，12），b=（1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。