设函数f是定义在上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f＜f对于任意x∈[0，1]都成立？若存在，试求出实

题文

设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解法一：由条件得1-ax-x²＜2-a对于x∈[0，1]恒成立
令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）=x²+ax-a+1=（x+a2）²-a24-a+1．
①当-a2＜0，即a＞0时，g（x）_min=g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②当0≤-a2≤1，即-2≤a≤0时，g（x）_min=g（-a2）=-a24-a+1＞0，∴-2-22＜a＜-2+22，故-2≤a≤0；
③当-a2＞1，即a＜-2时，g（x）_min=g（1）=2＞0，满足，故a＜-2．
故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．
解法二：由1-ax-x²＜2-a得（1-x）a＜x²+1，
∵x∈[0，1]，∴1-x≥0，
∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；
②当x∈[0，1）时，a＜x2+11-x恒成立．
求当x∈[0，1）时，函数y=x2+11-x的最小值．
令t=1-x（t∈（0，1]），则y=x2+11-x=(1-t)2+1t=t+2t-2，
而函数y=t+2t-2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，y_min=1．
故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，
由①②得a＜1．
故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．

解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。