已知a∈R，函数f=x|x-a|，当a=2时，写出函数y=f的单调递增区间；当a＞2时，求函数y=f在区间[1，2]上的最小值；（

题文

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，
（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|=x(x-2)，x≥2x(2-x)，x＜2
由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）
（Ⅱ）因为a＞2，x∈[1，2]时，所以f（x）=x（a-x）=-x²+ax=-(x-a2)2+a24
当1＜a2≤32，即2＜a≤3时，f（x）_min=f（2）=2a-4
当a2＞32，即a＞3时，f（x）_min=f（1）=a-1
∴f(x)min=2a-4，2＜a≤3a-1，a＞3
（Ⅲ）f(x)=x(x-a)，x≥ax(a-x)，x＜a






①当a＞0时，图象如上图左所示
由y=a24y=x(x-a)得x=(2+1)a2
∴0≤m＜a2，a＜n≤2+12a
②当a＜0时，图象如上图右所示
由y=-a24y=x(a-x)得x=(1+2)2a
∴1+22a≤m＜a，a2＜n≤0

解析

x(x-2)，x≥2x(2-x)，x＜2

考点

据考高分专家说，试题“已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。