题文
已知f(x)=loga1+x1-x(其中a＞0且a≠1)，定义域为（-1，1）．（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由．
（3）讨论f（x）函数的单调性． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f（x）的定义域为（-1，1），它关于原点对称，又f（-x）=loga1-x1+x=loga(1+x1-x)-1=-loga1+x1-x=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）令f（x）=loga1+x1-x=0⇒1+x1-x=1⇒1+x=1-x⇒x=0，
又0∈（-1，1），
故f（x）有零点0；
（3）设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=loga1+x11-x1-loga1+x21-x2=loga(1-x21-x1•1+x11+x2)，
∵-1＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜2，0＜1+x1＜1+x2＜2，
∴0＜1-x21-x1＜1，0＜1+x11+x2＜1，
∴0＜1-x21-x1•1+x11+x2＜1，
当0＜a＜1时，f（x1）-f（x2）＞0，
∴函数f（x）是在定义域上减函数．
当a＞1时，f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在定义域上是增函数．
解析
1-x1+x考点
据考高分专家说，试题“已知f(x)=loga1+x1-x(其中.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
