已知fk=xn-k，F=Cn°f0+Cn1f1+…+Cnkfk+…+Cnnfn（x2

题文

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）试用n，k表示：F（1），F（0）
（2）证明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f_k（1）=（n-k+1），f_k（0）=0
F（1）=C_n°f₀（1）+C_n¹f₁（1）+…+C_n^kf_k（1）+…+C_nⁿf_n（1）
=C_n°（n+1）+C_n¹ （n）+…+C_n^k （n-k+1）+…+C_nⁿ ×1，①
把F（1）倒序书写可得
F（1）=C_nⁿ ×1+Cn-1n×2+…+Cn-kn （k+1）+…+C_n¹ （n）+C_n°（n+1），②
把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ C_n°+C_n¹ +…+C_n^k +…+C_nⁿ ）=（n+2）2ⁿ，
故F（1）=（n+2）2^n-1 ．
F（0）=C_n°f₀（0）+C_n¹f₁（0）+…+C_n^kf_k（0）+…+C_nⁿf_n（0）=0．
（2）证明：F（1）-F（0）=（n+2）2^n-1 -0≤（n+2）2^n-1 ，故不等式成立．

解析

Cn-1n

考点

据考高分专家说，试题“已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。